小量计算

1.高阶小量舍去

一般情况下，高阶无穷小量可以直接舍去。

比如在计算匀变速直线运动时，当，初速度为，末速度为。对应位移满足

【资料图】

由于是的高阶无穷小量，可以忽略不计，

所以，可看成匀速直线运动。

同理，当时，我们可以将曲线运动看成直线运动，将变加速运动看成匀加速运动。

2.保留一阶小量

另外一些情况，题目要求保留到一阶无穷小量时，可以利用一阶等价无穷小，将二阶及以上的无穷小量舍去。比如化简：

舍去得

3.保留二阶以上小量

当要求保留到二阶以上的无穷小量时，我们可以利用泰勒级数：

微元法在运动学的应用

1.微元求和

在推导匀变速直线运动位移公式的时候，我们可以将图像下方的面积分割为若干个矩形面积，矩形面积即代表匀速直线运动的位移。从而可以看成把匀变速直线运动分解为若干个匀速直线运动，则直线下方面积就等于整段过程的位移。

由小量运算可知：若干个矩形的面积之和与直线下方面积之间的差值为一阶小量，从而可以舍去。

2.求瞬时加速度

推导匀速圆周运动的向心加速度。

如下图，当角度足够小时，可以看成线段，从而

，

由对应边比值相等得

即

3.求瞬时速度

如下图，环静止不动，，当环以速度沿连心线方向向右运动，求两环交点的速度大小。

当时间足够短时，点附近的平均速度就等于点的瞬时速度。我们在上面已经分析过，当运动时间足够短时，环和交点的运动均可以看成匀速直线运动。其中环从点移动到点，位移，交点从移动到点，位移。

由图可知为等腰三角形，且，故

即

4.列微分方程

质点沿半径为的圆周运动，初速度的大小为.在运动过程中，质点的切向加速度与法向加速度大小恒相等，已知质点速率持续增大，求经时间质点的速度v .

在这道题中，我们可以研究一段短时间内质点的运动，切向加速度等于法向加速度，则

分离变量得

两边同时积分得

即

所以

练习

蚂蚁离开巢沿直线爬行，它的速度与到蚁巢中心的距离成反比。当蚂蚁爬到距巢中心的点处时，速度是。试求蚂蚁继续由点爬到距巢中心的点需要多长的时间t？

答案：75s.

如图所示，一平面内有两根细杆和，各自以垂直于自己的速率和运动，求交点相对于的运动速率.

答案：

如图所示，用不可伸长的轻线把小球拴在静止的半径为的圆柱体上，起初这样缠线：使球与圆柱体相切，在某一时刻使球沿半径方向具有速度，于是线开始松开。试求经时间，松开部分线的长度.

答案：